Parcours d'un cercle olympique

Énoncé

La ville de Saint-Ouen veut célébrer auprès de ses écoles les Jeux olympiques se déroulant dans sa commune en 2024. Elle organise une course en relais pour les écoles élémentaires.

Elle se déroule de la façon suivante.

• Chaque cercle olympique est une piste de rayon  $1$ km et il est associé à un groupe de  $4$ élèves. 
  
• Au début, les $4$ élèves du groupe se placent chacun en correspondance des points $\text{I,J,I',J'}$ indiqués sur la représentation suivante. 
  

• Au top départ, l'élève en $\text{I}$ court jusqu'à $\text{J}$ ,où il s'arrête et donne le relais à l'élève en $\text{J}$ qui court jusqu'à $\text{I'}$ , donnant le relais à l'élève en $\text{I'}$ , et ainsi de suite. Il y a, ainsi, un seul élève qui court à la fois.
  
• Lorsque le signal de stop résonne, l'élève qui est en train de courir s'arrête et reste à la place où il se trouve.
  

Questions

Partie A - Étude de la piste

1. Quelle est la longueur exacte de la piste ? En donner une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près.

2. Quelle distance parcourt chaque élève avant de donner le relais au suivant ?

Partie B - Les courses

1. Lors de la première course, au moment du stop, les élèves sur le cercle bleu ont parcouru  $20$ km. Combien de tours complets a fait le groupe ? Dans quel quart du cercle se trouve l'élève qui était en train de courir au moment du stop ?

2. Lors de la deuxième course, au moment du stop, les élèves qui étaient en train de courir dans le cercle rouge et dans le cercle jaune se trouvent à mi-chemin entre les points $\text{I}$ et $\text{J}$ . Mais, si le groupe du cercle rouge avait déjà parcouru $5$ tours, le groupe du cercle jaune en avait parcourus seulement $4$ . Calculer la distance totale parcourue par chacun des deux groupes et préciser la différence entre les deux distances parcourues.

3. Lors de la troisième course, au moment du stop, l'élève qui était en train de courir sur le cercle noir était sur le point de donner le relais à l'élève situé au point  $\text{I}$ . Les élèves ne se souviennent pas du nombre de tours complets qu'ils ont réalisé. Exprimer la distance exacte que le groupe a pu parcourir en fonction du nombre de tours  $k$ qu'ils ont pu faire.

4. Lors de la quatrième course, au moment du stop, l'élève qui était en train de courir sur le cercle vert était sur le point de donner le relais à l'élève situé au point  ${\text{J}}^{\prime }$ . Les élèves ne se souviennent pas du nombre de tours complets qu'ils ont réalisé. Exprimer la distance exacte que le groupe a pu parcourir en fonction du nombre de tours  $k$ qu'ils ont pu faire.